Logica e linguaggio

In evidenza: Raffaello, lo sposalizio della Vergine, 1504

Leibniz pensò alla cosiddetta lingua universale per risolvere le ambiguità e le imperfezioni del linguaggio naturale, e dal suo coraggioso progetto mai portato a termine nacque la logica formale poi potenziata da Glottlob Frege e prima di lui dall’algebra di Boole. La logica formale altro non è che la veste matematica della logica dei sillogismi aristotelica. Con il passare degli anni, soprattutto nei primi del novecento, la logica diviene sempre più distaccata dalla filosofia ed assume una teoria matematica a sé stante. Resta comunque fondamentale la sua origine filosofica e soprattutto il suo scopo principale: pensare in maniera corretta. Pensare in maniera corretta vuol dire pensare e condurre argomentazioni senza fallacie o errori che potrebbero comportare la verità della conclusione. Da qui la vicinanza tra logica e matematica, entrambe producono verità necessarie, che non possono essere altrimenti. Proviamo a renderne chiare le basi con qualche esempio. Prendiamo la frase:

(1 )Tutti quelli che studiano la logica comprendono la matematica

Supponiamo inoltre che sia sempre vero, quindi sia una verità necessaria, dunque un teorema

(1) avrà la seguente forma logica:   ∀(x): [ U(x) ∧ SL (x) →  CM(x)]

Ovvero: per ogni x (per ogni variabile, dato che non prendiamo un individuo definito, altrimenti utilizzeremo la costante c), tali che U(x) (si chiama funzione predicato “U” ed associata alla variabile x ci dà l’enunciato “x è uomo) e SL(x) (l’individuo indefinito x studia la logica) allora l’individuo indefinito x (Mario, Alberto, Piero ecc…) comprende la matematica ovvero CM(x).

Ho appena formalizzato, ovvero reso in maniera formale, senza fare utilizzo del linguaggio naturale (quello che parliamo tutti i giorni e che si differenzia da quello della logica e della matematica) una frase del linguaggio normale. I vantaggi che ne derivano sono: precisione dell’espressione, si evitano le ambiguità, si può arrivare a “calcolare” il valore di verità di una qualunque proposizione a partire dall’efficienza della forma logica utilizzata. Adesso riporto la dimostrazione del teorema (1) (che è una legge ricavata dall’esperienza, suppongo infatti che ogni volta che si ha a che fare con la logica si comprendono le basi della matematica, ed è evidente dal fatto stessa della deduzione)

1. Teorema: Tutti quelli che studiano logica comprendono la matematica

1.1 Teorema: CRL(x) sse CMB (x) (comprendere la logica è comprendere le basi matematica, perché comprendere le basi della  matematica è comprendere la logica)

1.2 Corollario: comprendere le basi della matematica è comprendere il ragionamento complesso della matematica. CBM(x) allora CRCM (x)

2: Teorema: La matematica è fatta di ragionamenti complessi

a. regola di inferenza: A allora B sse B è contenuta in A (o derivabile)

b: regola di inferenza:  A(x) allora AB(x) = CA(x) allora CAB(x)

Dimostrazione:

∀(x): [ U(x) ∧ SL (x) allora CM(x)]                                            (Tesi)

Sl(x) allora CRL (x)

CRL(x) allora CBM (x) per il teorema 1.1

CBM(x) allora CRCM (x) per il corollario 1.2

CM allora (derivazione) RCM per teorema 2 e per legge a

CM allora RCM = CM(x) sse CRCM (x) per la legge a legge b

CRCM (x) allora CM(x)

∀(x): [(U(x) ∧ SL (x)) →  CM(x)]

Giovanni Sacchitelli